单条布朗轨迹扩散系数的最小二乘估计量分布

在本文中，我们研究了估计量 $u_{\alpha} \sim T^{-1} \int^T_0 \, \omega(t) \, {\bf B}^2_{t} \, dt$ 的分布函数 $P(u_{\alpha})$，该估计量优化了单条 $d$ 维布朗轨迹 ${\bf B}_{t}$ 的扩散系数 $D_f$ 的最小二乘拟合。我们在此通过考虑形式为 $\omega(t) = (t_0 + t)^{-\alpha}$ 的权重函数族来进一步追求优化，其中 $t_0$ 是时间滞后，$\alpha$ 是任意实数，并寻找使估计量最有效过滤掉波动的 $\alpha$ 值。我们精确计算了任意 $\alpha$ 和任意空间维度 $d$ 下的 $P(u_{\alpha})$，并表明仅当 $\alpha = 2$ 时，分布 $P(u_{\alpha})$ 在 $\epsilon = t_0/T \to 0$ 时收敛至以估计量的系综平均值为中心的 Dirac delta 函数。这使我们得出结论，只有 $\alpha = 2$ 的估计量才具有遍历性，从而系综平均扩散系数可以从单条轨迹数据中以任意所需精度获得，但代价是逐渐提高的实验分辨率。对于任何 $\alpha \neq 2$，分布在 $\epsilon \to 0$ 时达到某种具有有限方差的极限形式，这意味着此类估计量不具有遍历性。