具有反射边界的一维布朗运动的极值统计

我们研究在原点处存在反射边界、从正位置 $x_0$ 出发的一维布朗运动（扩散常数为 $D$）在时间区间 $\left[0, t \right]$ 内的极值统计。通过推导布朗粒子未击中 $x=M$ 处吸收边界的存活概率，我们得到最大位移 $M$ 的分布 $P(M|x_0,t)$ 及其期望 $\langle M \rangle$。在短时间极限，即 $t \ll t_d$（其中 $t_d=x_0^2/D$ 为从起始位置 $x_0$ 到原点反射边界的扩散时间），粒子表现为无任何边界的自由布朗运动。在长时间极限 $t \gg t_d$ 下，$\langle M \rangle$ 随 $t$ 以 $\langle M \rangle \sim \sqrt{t}$ 增长，类似于自由布朗运动，但前置因子为自由布朗运动的 $\pi/2$ 倍，体现了反射边界的效应。通过求解传播子并采用路径分解技术，我们得到 $M$ 与达到此最大值的时间 $t_m$ 的联合分布 $P(M,t_m|x_0,t)$，并由此得到边缘分布 $P(t_m|x_0,t)$。对于 $t \ll t_d$，$P(t_m|x_0,t)$ 呈类似于自由布朗运动反正弦定律的 U 形。对于 $t$ 等于或大于 $t_m$ 的数量级时，$P(t_m|x_0,t)$ 偏离 U 形分布，并相对于 $t/2$ 变为不对称。此外，我们计算了 $t_m$ 的期望 $\langle t_m \rangle$，发现 $\langle t_m \rangle/t$ 是 $t$ 的增函数。在两个极限情形中，$\langle t_m \rangle/t \to 1/2$（$t \ll t_d$）且 $\langle t_m \rangle/t \to (1+2G)/4 \approx 0.708$（$t \gg t_d$），其中 $G\approx0.916$ 为 Catalan 常数。所有理论结果均由数值模拟验证。