通过超特征标发现 ${\textsf {QSym}}_F$ 基的乘积与余乘积法则

本文针对域 $F$（其中 $F$ 为 $\mathbb{C}(q,t)$ 或 $\mathbb{C}(q)$）上的拟对称函数 Hopf 代数 $\textsf{QSym}_F$，建立了其三个基的乘积与余乘积法则。这些结果通过利用正规格超特征标理论得到的 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}}$ 的分类而导出。首先，我们处理 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}(q,t)}$ 的一个基 $\{\mathcal{D}_{\alpha}(q,t) \mid \alpha \in \textsf{Comp}\}$，其中 $\textsf{Comp}$ 表示所有组合的集合。该基由特定超特征标函数空间的直接和得到，并由超类标识符函数组成。对 $q$ 和 $t$ 作适当特殊化后，它给出 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}}$ 和 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$ 的著名基，包括 Grinberg 和 Vassilieva 引入的富集 $q$-单项拟对称函数。其次，我们处理 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$ 的基 $\{G_{\alpha}(q) \mid \alpha \in \textsf{Comp}\}$，其中 $G_{\alpha}(q)$ 表示 Hivert 引入的拟对称 Hall-Littlewood 函数。我们的乘积法则是新的，而我们的余乘积法则被证明等价于 Hivert 已有的余乘积法则。最后，我们考虑 $\textsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$ 的一个基 $\{M_{\alpha}(q) \mid \alpha \in \textsf{Comp}\}$，其中 $M_{\alpha}(q)$ 是单项拟对称函数的 $q$-类比。