斜拟对称 Schur 函数与非交换 Schur 函数

最近，Haglund、Luoto、Mason、van Willigenburg 为拟对称函数 Hopf 代数 $QSym$ 引入了一个新基，称为拟对称 Schur 函数。在本文中，我们扩展拟对称 Schur 函数的定义，引入了斜拟对称 Schur 函数。这些函数同时包含了经典斜 Schur 函数和拟对称 Schur 函数作为例子，并产生了一个类似于 Young 格的新偏序集 $\mathcal{L}_C$。我们还为非交换对称函数 Hopf 代数 $NSym$ 引入了一个新基。这个 $NSym$ 的基与拟对称 Schur 函数的基对偶，其元素是 Schur 函数在遗忘映射 $\chi: NSym \rightarrow Sym$ 下的原像。我们证明了非交换 Schur 函数的乘法结构常数（等价地，斜拟对称 Schur 函数在拟对称 Schur 基下展开的系数）是非负整数，满足一个在 $\chi$ 下退化为经典 Littlewood-Richardson 规则的 Littlewood-Richardson 规则类比。作为一个应用，我们证明了从 Poirier-Reutenauer 代数到 $Sym$ 的代数态射通过 $NSym$ 分解。我们还将 Rosas-Sagan 的非交换变量 Schur 函数的定义扩展到代数 $NCSym$ 中，以定义代数 $NCQSym$ 中的拟对称 Schur 函数。我们证明了后一类函数细化了前者及其性质，并在遗忘映射下投影到拟对称 Schur 函数。最后，我们证明了通过适当标记 $\mathcal{L}_C$，斜拟对称 Schur 函数出现在偏序集上的 Pieri 算子理论中。