Hopf拟群与代数7-球面

我们引入了Hopf拟群和Hopf余拟群$H$的概念，将具有逆性质的经典拟群$G$分别推广为拟群代数$k G$和代数拟群$k[G]$。我们证明了Hopf代数的一些基本结果，例如对极$S:H\to H$的反(余)乘性，若$H$交换或余交换则$S^2=\id$，以及交叉(余)积理论。我们还引入了Moufang Hopf(余)拟群的概念，并证明了可平行化球面的坐标代数$k[S^{2^n-1}]$是代数拟群(在我们的表述中为交换Hopf余拟群)且是Moufang的。我们利用文献[Ma99]中通过上链$F$引入的合成代数(如八元数)的描述。我们构造了一个非交换且非平凡Moufang的Hopf余拟群例子$k[S^7]\rtimes\Z_2^3$。我们使用Hopf余拟群方法研究$k[S^7]$上的微分几何，包括一个简短的代数证明，证明$S^7$是可平行化的。通过考察$k[S^7]$上左、右不变向量场的组合，我们给出了李代数$g_2$的结构常数用八元数结构常数$F$表示的新描述。在结论部分，我们给出了$q$-形变量子群$\C_q[S^3]$的新描述，将其平凡地视为Moufang Hopf余拟群(平凡是因为它实际上是一个Hopf代数)，但现在是用通过Cayley-Dickson过程构建的$F$来表示的。