形式微分同胚的非交换 Hopf 代数

本文的研究对象是两个 Hopf 代数，它们是两类不同形式幂级数群的非交换类似。第一类群是带乘法的可逆级数集合，第二类群是带复合的形式微分同胚集合。引入这些 Hopf 代数的动机来自对具有非交换系数的形式级数的研究。具有非交换系数的可逆级数仍构成一个群，我们将相应的新非交换 Hopf 代数解释为群的坐标环给出的自然 Hopf 代数的一种替代，其优点是对系数代数具有函子性。对于具有非交换系数的形式微分同胚，此解释失效，因为此时复合不再满足结合律。然而，我们证明对偶非交换代数上存在自然的余结合余积，定义了一个非交换 Hopf 代数。此外，我们给出对径元的显式公式，它代表了 Lagrange 反演公式的非交换版本，并证明其系数与平面二叉树有关。然后我们将这些结果推广到前述 Hopf 代数的半直余积，以及多变量级数。最后，我们说明形式级数的非交换 Hopf 代数如何与某些重正化 Hopf 代数相关，后者是由量子场论中的重正化所激发的组合 Hopf 代数，并与由双代数上的双重张量代数给出的重正化函子相关。