带有半群指数的多准对称函数、Hopf代数与Rota-Baxter代数

数十年来，G.-C. Rota 发现了对称函数与Rota-Baxter代数之间的密切联系，提出通过Rota-Baxter代数框架研究对称函数的泛化。以该构想为指导，人们从以弱组合（而不仅仅是组合）为依据的Rota-Baxter代数中获得了准对称函数。本文旨在推广这一方法，以获得更广泛的准对称函数——即针对多个生成器的自由Rota-Baxter代数。为此，定义了空间MQSym，其中包含多个变量序列上的准对称函数，进一步泛化了Aval、Bergeron和Bergeron的准对称函数和对角准对称函数。本文给出由单项式多准对称函数和基本多准对称函数构成的线性基；后者恢复了Aval和Chapoton的基本G^m-准对称函数。随后引入更为一般的概念——指数取值于半群E的多准对称函数MQSym^E——其也泛化了近期工作中带半群指数的准对称函数。通过这一方法，可在MQSym^E上获得自然的Hopf代数结构。最后，为了支持Rota的构想，证明了在有限集合上的自由交换单位Rota-Baxter代数同MQSym^E的一个标量扩张同构，从而为自由Rota-Baxter代数赋予Hopf代数结构。