海森堡群中的微分对策与 Hamilton-Jacobi 方程

本工作的目的有二。首先，我们研究形如 $u_t(t,x)+\mathcal{H}(t,x,\nabla_H u(t,x))=0$ 的 Hamilton-Jacobi 方程的解，其中 $\nabla_H u$ 表示定义在海森堡群 ${I\!\!H}$ 上的函数 $u$ 的水平梯度。受 Liu、Manfredi 和 Zhou 近期论文（\cite{LiMaZh2016}）的启发，我们证明了 $u$ 关于 ${I\!\!H}$ 中 Kor\'anyi 齐次距离 $d_G$ 的 Lipschitz 连续性保持性质。其次，我们热衷于在海森堡群中引入对策论，并考虑其亚黎曼结构：受 Evans 和 Souganidis 论文（见 \cite{EvSo1984}）以及 Balogh、Calogero 和 Pini \cite{BaCaPi2014} 论文中思想的启发，我们证明了以水平曲线为轨迹的零和对策的下、上值函数的 $d_G$-Lipschitz 正则性结果，并研究了与该零和对策相关的 Hamilton-Jacobi-Isaacs 方程。作为推论，我们也给出了初始 Hamilton-Jacobi 方程粘性解的一个表示。