有限阿贝尔群中的差基

群 $G$ 的子集 $B$ 若满足每个元素 $g\in G$ 都可写为某些元素 $a,b\in B$ 的差 $g=ab^{-1}$，则称为 $G$ 的一个差基。差基 $B\subset G$ 的最小基数 $|B|$ 称为 $G$ 的差大小，记作 $\Delta[G]$。分数 $\eth[G]:=\frac{\Delta[G]}{\sqrt{|G|}}$ 称为 $G$ 的差特征。利用伽罗瓦环的性质，我们证明了有限阿贝尔群的差大小和差特征的递归上界。特别地，我们证明对于素数 $p\ge 11$，任意有限阿贝尔 $p$-群 $G$ 具有差特征 $\eth[G]<\frac{\sqrt{p}-1}{\sqrt{p}-3}\cdot\sup_{k\in\mathbb N}\eth[C_{p^k}]<\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{p}-1}{\sqrt{p}-3}$。我们还计算了基数 $<96$ 的所有阿贝尔群的差大小。