带有限同心 $\delta$ 壳的 Schr"odinger 算子散射矩阵的行列式公式

我们研究 $\mathbb R^3$ 中具有有限同心 $\delta$--壳相互作用的 Schr"odinger 算子在平稳散射中的情况。该模型的自伴实现及其边界 resolvent 公式表明，在进行部分波分解后，相同的有限维边界矩阵也决定了通道散射系数。更具体地，对于每个角动量 $\ell$，通道系数 $S_\ell(k)$ 满足 $S_\ell(k)=\det K_\ell(k^2-i0)/\det K_\ell(k^2+i0)$ 对于几乎每个 $k>0$，其中 $K_\ell(z)=I_N+m_\ell(z)\Theta$ 为第 $\ell$ 个简化边界矩阵。因此，在每个通道中，正能量散射问题可化为有限维矩阵问题，散射相可从 $\det K_\ell(k^2+i0)$ 中恢复。我们随后研究两个同心壳在 s 波通道的第一个非平凡情况，其中壳间相互作用产生非平凡阈值效应。我们推导 $S_0(k)$ 的显式公式并分析其作为 $k\downarrow0$ 的行为。在常规阈值情形下，我们获得显式散射长度。我们进一步识别出一种阈值临界配置，特征为存在正规于原点的非平凡零能径向解，其外部常数项消失。在相应的非退化例外情况中，通常的有限散射长度失效，取而代之的是 $S_0(k)\to -1$ 当 $k\downarrow0$。