半透明平面局部形变上的散射

我们研究 $L^2(\mathbb{R}^3)$ 中 Schr"odinger 算子对 $(A_{F},A_{0})$ 的散射，其形式定义为 $A_0 = -\Delta + \alpha\, \delta_{\pi_0}$ 与 $A_F = -\Delta + \alpha\, \delta_{\pi_F}$，$\alpha >0$，其中 $\delta_{\pi_F}$ 是支撑于由紧支撑、Lipschitz 连续函数 $F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 的图像给出的形变平面上的狄拉克 $\delta$ 分布，$\pi_{0}$ 是对应于选取 $F\equiv 0$ 的未形变平面。我们提供了极限吸收原理，证明了波算子的渐近完备性，并给出了相应散射矩阵 $S_{F}(\lambda)$ 的表示公式。此外我们证明，当 $F\to 0$ 时，$\|S_{F}(\lambda)-\mathsf 1\|^{2}_{\mathfrak{B}(L^{2}({\mathbb S}^{2}))}={\mathcal O}\!\left(\int_{\mathbb{R}^{2}}d\textbf{x}|F(\textbf{x})|^{\gamma}\right)$，$0<\gamma<1$。我们修正了本文发表版本（见 J. Math. Anal. Appl. 473(1) (2019), pp. 215-257）中散射矩阵计算的一个小错误。该错误出现在第 7 节，并影响了推论 7.2 的表述，具体为式 (7.8)。遗憾的是，勘误 J. Math. Anal. Appl. 482(1) (2020), 123554 中 $S_F$ 的公式仍有印刷错误，正确表达式如本文所给。