带 Lipschitz 曲面边界条件的 Laplace 算子的逆散射

在数学散射理论与因式分解方法的联合框架下，我们针对自伴算子对 $(\widetilde\Delta,\Delta)$ 给出逆散射的一般方案，其中 $\Delta$ 是 $L^{2}({\mathbb R}^{3})$ 中的自由 Laplacian，$\widetilde\Delta$ 是其奇异扰动之一，即满足集合 $\{u\in H^{2}({\mathbb R}^{3})\cap \text{dom}(\widetilde\Delta)\, :\, \Delta u=\widetilde\Delta u\}$ 稠密。典型地，$\widetilde\Delta$ 对应于在某个零测集上施加某种边界条件的 Laplace 算子的自伴实现；特别地，我们的结果适用于在 $\Gamma=\partial\Omega$ 处的标准边界条件（分离或半透明），其中 $\Omega\subset{\mathbb R}^{3}$ 是有界 Lipschitz 区域。当边界条件仅赋在 $\Sigma\subset\Gamma$（具有 Lipschitz 边界的相对开子集）上时，类似结果也成立。我们证明，仅凭散射矩阵（等价地，单频下的远场算子）的知识即可确定 $\Gamma$ 或 $\Sigma$。