时域中点散射体的逆波散射

设 $\Delta_{\alpha,Y}$ 为 $L^{2}({\mathbb R}^{3})$ 中拉普拉斯算子在 $Y=\{y_{1},\dots,y_{n}\}\subset{\mathbb R}^{3}$ 处带有 $n$ 个点散射体的有界自伴实现，参数 $(\alpha_{1},\dots\alpha_{n})\equiv\alpha\in {\mathbb R}^{n}$ 与障碍物的散射性质相关。令 $u^{\alpha,Y}_{f_{\epsilon}}$ 与 $u^{\varnothing}_{f_{\epsilon}}$ 分别表示对应于 $\Delta_{\alpha,Y}$ 与自由拉普拉斯算子 $\Delta$ 的波动方程的解，其源项由脉冲 $f_{\epsilon}(x)=\sum_{k=1}^{N}f_{k}\,\varphi_{\epsilon}(x-x_{k})$ 给出，该脉冲支撑于 $X_{N}=\{x_{1},\dots, x_{N}\}$ 中各点的 $\epsilon$-邻域内，且 $X_{N}\cap Y=\varnothing$。我们证明，对任意固定的 $\lambda>\sup\sigma(\Delta_{\alpha,Y})$，存在 $N_{\circ}\ge 1$，使得 $Y$ 中点的位置可由有限维散射数据算子 $F^{N}_{\lambda}:{\mathbb R}^{N}\to{\mathbb R}^{N}$（$N\ge N_{\circ}$）的知识确定： $$(F^{N}_{\lambda}f)_{k}:=\lim_{\epsilon\searrow 0}\int_{0}^{\infty}e^{-\sqrt\lambda\,t}\big(u^{\alpha,Y}_{f_{\epsilon}}(t,x_{k})-u^{\varnothing}_{f_{\epsilon}}(t,x_{k})\big)\,dt\,.$$ 我们利用了预解式差 $(-\Delta_{\alpha,Y}+\lambda)^{-1}-(-\Delta+\lambda)^{-1}$ 的因子化形式以及 MUSIC 算法中有限维因子化的一项变体；多重散射效应未被忽略。