球对称渐近双曲流形中固定能量的局部逆散射

在本文中，我们调整了一维 Schrödinger 方程逆问题中众所周知的 Borg-Marchenko 型\emph{局部}唯一性结果，以证明逆\emph{度规}问题中的\emph{局部}唯一性结果。具体而言，我们考虑一类具有两个渐近双曲端点的球对称流形，并研究在此类流形上演化的无质量 Dirac 波的散射性质。利用模型的球对称性，稳态散射由可数族一维 Dirac 方程编码。这使我们能够定义具有固定能量 $\lambda$ 和角动量 $n$ 的 Dirac 波对应的透射系数 $T(\lambda,n)$ 以及反射系数 $L(\lambda,n)$ 和 $R(\lambda,n)$。例如，反射系数 $L(\lambda,n)$ 对应于这样的散射实验：波在遥远的过去从\emph{左}端发出，并在未来于同一左端被测量。本文的主要结果是一个本质上是局部的逆唯一性结果。即，我们证明对于固定的 $\lambda \not=0$，知晓反射系数 $L(\lambda,n)$（或 $R(\lambda,n)$）——精确到形式为 $O(e^{-2nB})$ 的误差项（其中 $B\textgreater{}0$）——即可确定流形在左端（或右端）邻域内的结构，该邻域的大小取决于误差项的幅度 $B$。证明此结果的关键要素包括复角动量方法以及一些有用的 Laplace 变换唯一性结果。