渐近双曲 Liouville 曲面上固定能量的逆散射

在本文中，我们研究了具有两个渐近双曲末端的 Liouville 曲面上的逆散射问题。Liouville 曲面的主要特性在于测地流 Hamilton-Jacobi 方程的完全可分离性。一个重要的相关结果是，稳态波动方程可以分离为一个径向和一个角向常微分方程（ODEs）的系统。因此，与渐近双曲 Liouville 曲面上的标量波动方程相关的全散射矩阵在固定能量下，可以通过考虑其对应对应于角向分离 ODE 的广义谐波的限制来简化。得到的分散射矩阵由可数个 $2 \times 2$ 矩阵组成，其系数即所谓的透射系数和反射系数。研究表明，反射系数不过是径向 ODE 的广义 Weyl-Titchmarsh 函数，其中广义角动量被视为谱参数。利用复角动量方法以及关于从广义 Weyl-Titchmarsh 函数求解一维逆问题的最新结果，我们表明，在固定非零能量下知晓反射算子足以唯一确定所考虑的渐近双曲 Liouville 曲面的度规。