Q-曲率的形变 I

在本文中，我们研究闭黎曼流形上 $Q$-曲率的形变问题。我们使用的最关键概念之一是 $Q$-奇异空间，由 Chang-Gursky-Yang 在 1990 年代引入。受 Fischer-Marsden 早期工作的启发，我们得到了关于 $Q$-曲率几何的几个结果。它包括非负 Einstein $Q$-奇异空间的分类、非 $Q$-奇异空间的线性化稳定性，以及具有非负 $Q$-曲率的平坦流形的局部刚性结果。对于整体结果，我们证明了任何光滑函数都可以在一般 $Q$-平坦流形上实现为 $Q$-曲率，相反，具有非负 $Q$-曲率的 $n$-环面上的局部共形平坦度量必须是平坦的。特别地，在 $4$-环面上不存在具有非负 $Q$-曲率的度量，除非它是平坦的。