具有正常数数量曲率的 Bach-平坦流形的球面定理

我们证明，一个具有固定正常数数量曲率的闭 Bach-平坦黎曼流形，如果其 Weyl 张量和无迹 Ricci 张量在 $L^\infty$ 或 $L^{\frac{n}{2}}$-范数意义下很小，则必然是局部球形的。与 Kim 所处理的完备非紧情形相比，我们采用了一种不同的方法来得到这些结果。这些结果推广了 M.-A.Singer 关于正 Einstein 流形的刚性定理。作为一个应用，我们可以部分地恢复著名的 Chang-Gursky-Yang 的 $4$ 维共形球面定理。