离散区间与 q 变形的量子黎曼几何

我们求解了具有 $n$ 个节点（类型 $A_n$ 的 Dynkin 图）的有限格点区间 $\bullet-\bullet-\cdots-\bullet$ 上的量子黎曼几何，发现它们必然是 $q$ 变形的，其中 $q=e^{\imath\pi\over n+1}$。这源于内蕴几何，而非通过假设图中存在任何量子群。具体而言，我们发现了一种新颖的“边界效应”：为了容许量子 Levi-Civita 联络，任意边上“度量权”被迫在指向内部时大于指向边界时，在节点 $i$ 处比值为 $(i+1)_q/(i)_q$，其中 $(i)_q$ 为 $q$ 整数。Christoffel 符号也是 $q$ 变形的。极限 $q\to 1$ 同样迫使自然数 $\Bbb N$ 的量子黎曼几何在 $i$ 增大方向上具有有理度量倍数 $(i+1)/i$。两种情形下，除归一化外均存在唯一的 Ricci 标量平坦度量。对 $n=3$ 以及 $\Bbb N$ 几何的连续极限展示了量子场论与量子引力的若干要素。标量平坦度量的 Laplacian 在极限存在时成为 Airy 方程算子 ${1\over x}{d^2\over d x^2}$。以共形因子 $e^{\psi(i)}$ 对该度量缩放，给出极限 Ricci 标量曲率正比于 ${e^{-\psi}\over x}{d^2 \psi\over d x^2}$。