具有最小平均畸变的黎曼曲面上环带的形变

设$A$和$A'$为两个圆形环带，$\rho$为定义在环带$A'$上的径向度量。考虑$A$与$A'$之间的$\rho$-调和映射类$\mathcal H_\rho$。Iwaniec、Kovalev和Onninen最近证明，若$\rho=1$（即$\rho$为欧几里得度量），则$\mathcal H_\rho$非空当且仅当Nitsche条件成立（从而证明了J. C. C. Nitsche猜想）。本文针对$\mathcal H_\rho$提出了一个条件（称为$\rho$-Nitsche猜想），并定义了$\rho$-Nitsche调和映射。我们确定了关于度量$\rho$的环带映射中具有最小平均畸变的极值映射。作为推论，我们发现$\rho$-Nitsche调和映射是所有同胚$h:A\to A'$中的Dirichlet能量极小化子。然而，在环带模量的$\rho$-Nitsche条件之外，在同胚类中不存在这样的能量极小化子。这推广了Astala、Iwaniec和Martin（ARMA, 2010）近期关于$\rho=1$和$\rho=1/|z|$情形的结果。