圆环间 $j-$度映射的 Dirichlet 能量极小化

设 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 为复平面上的圆环，考虑 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 之间 $j-$度映射的 Dirichlet 能量积分。然后我们对该能量积分进行极小化。如果极小化子存在，则它是圆环 $\mathbb{A}$ 和 $\mathbb{B}$ 之间的一个 $j-$度调和映射。如果这样的调和映射不存在，则极小化子仍是一个 $j-$度映射，它在 $\mathbb{A}'\subset \mathbb{A}$ 中是调和的，并在其互补圆环 $\mathbb{A}''=\mathbb{A}\setminus \mathbb{A}$ 中是一个挤压映射。该结果是 Astala、Iwaniec 和 Martin \cite{astala2010} 某一结果的推广。