最小 Dirichlet 能量映射及其 Hopf 微分

本文关注具有最小 Dirichlet 能量的平面区域间的映射。在 Sobolev 空间 $W^{1,2}(X, Y)$ 中同胚的强极限类 $\bar{\mathscr H}_2(X, Y)$ 内，确立了能量极小映射的存在性与唯一性（至多相差定义域中的一个共形变量替换），这一结果在非线性弹性力学的数学模型中具有相当重要的意义。内变分导出了 Hopf 微分 $h_z \bar{h_{\bar{z}}} dz \otimes dz$ 及其轨迹。对于一对双连通区域（其中 $X$ 具有有限的共形模），我们确立了如下原理：映射 $h \in \bar{\mathscr H}_2(X, Y)$ 是能量极小的，当且仅当其 Hopf 微分在 $X$ 内解析且沿 $X$ 的边界取实值。一般而言，能量极小映射可能不是单射的，在这种情况下可以观察到 $X$ 中裂纹的出现。然而，裂纹仅由 $Y$ 边界上 $Y$ 不凸的点触发。裂纹形成的一般规律如下：裂纹沿 Hopf 微分的垂直轨迹从 $X$ 的边界向 $X$ 的内部传播，并最终在形成横切线之前于内部终止。