环面之间的n-调和映射

本文的核心主题是对两个给定区域$\mathbb X, \mathbb Y \subset \mathbb R^n$之间的同胚$h\colon \mathbb X \onto \mathbb Y$进行变分分析。我们寻找Sobolev空间$\mathscr W^{1,n}(\mathbb X,\mathbb Y)$中极小化能量积分$$\mathscr E_h=\int_{\mathbb X} ||Dh(x)||^n dx$$的极值映射。由于与拟共形映射的自然联系，这种n-调和替代经典Dirichlet积分（针对平面区域）的方案引起了几何函数论研究者的关注。本文针对一对同心球环进行了显式分析，在其中观察到了关于极小n-调和映射的许多意外现象。非线性微分形式（称为自由拉格朗日量）的底层积分真正成为一门艺术。