从二维环域到 $\mathbb S^1$ 的各向异性调和映射的对称性破缺现象

在二维环域 $A_\rho=\{x\in \mathbb R^2: \rho<|x|<1\}$, $\rho\in (0,1)$ 中，我们刻画了相对于其自身边界条件的各向异性能量 \begin{equation*} E_\delta(u)=\int_{A_\rho} |\nabla u|^2 +\delta \left( (\nabla\cdot u)^2-(\nabla\times u)^2\right) \, dx,\quad \delta\in (-1,1). \end{equation*} 的 $H^1(A_\rho;\mathbb S^1)$ 中 $0$-齐次极小元。即使对于小的各向异性 $0<|\delta|\ll 1$，我们也展示了与各向同性情形 $\delta=0$ 非常不同的定性性质。特别地，次数 $d\notin \lbrace 0,1,2\rbrace$ 的 $0$-齐次临界点总是局部极小元，但在厚环域（$\rho\ll 1$）中它们不是极小元：$0$-齐次对称性被破坏。一个推论是，各向异性 Ginzburg-Landau 系统的整体解具有与 Brezis、Merle 和 Rivi\`ere 所研究的各向同性情形非常不同的远场行为。我们所使用的工具包括：常微分方程与变分论证；渐近展开、插值不等式以及涉及这些不等式近最优元的显式计算，用以证明 $0$-齐次临界点在厚环域中不是极小元。