各向异性谐振子的 Riesz 均值极大化

我们考虑与平面上各向异性谐振子的特征值渐近极小化相关的问题。特别地，我们研究特征值的 Riesz 均值以及相应热核的迹。特征值极小化问题可重新表述为一个格点问题：对于固定的 $\lambda\geq 0$，希望相对于 $\beta>0$ 极大化三角形（其顶点为 $(0, 0), (0, \lambda \sqrt{\beta})$ 和 $(\lambda/{\sqrt{\beta}}, 0)$）内部 $(\mathbb{N}-\tfrac12)\times(\mathbb{N}-\tfrac12)$ 的点的个数。该问题的格点表述自然引出一类广义问题，其中考虑平移格点 $(\mathbb{N}+\sigma)\times(\mathbb{N}+\tau)$，其中 $\sigma, \tau >-1$。我们表明这些问题的性质依赖于平移参数而颇为不同，特别地，对应于谐振子、即 $\sigma=\tau=-\tfrac12$ 的问题是一个临界情形。