寻找偶阶对称张量实特征值的无约束优化方法

设 $n$ 为正整数，$m$ 为正偶数。令 ${\mathcal A}$ 为一个 $m$ 阶 $n$ 维实弱对称张量，${\mathcal B}$ 为同尺寸的实弱对称正定张量。若存在 $x \in R^n \backslash \{0\}$ 使得 ${\mathcal A} x^{m-1} = \lambda {\mathcal B} x^{m-1}$，则称 $\lambda \in R$ 为 ${\mathcal A}$ 的一个 ${\mathcal B}_r$-特征值。在本文中，我们引入了两个无约束优化问题，并获得了 ${\mathcal A}$ 的最小和最大 ${\mathcal B}_r$-特征值的一些变分刻画。我们的结果扩展了 Auchmuty 关于实对称矩阵特征值的无约束变分原理。这种无约束优化方法可用于寻找偶阶弱对称张量的 Z-、H- 或 D-特征值。我们提供了一些数值结果，以说明该方法在寻找 Z-特征值以及判定偶阶对称张量正半定性方面的有效性。