加权组合能与 $\rho-$Nitsche 类型不等式的极端问题

设 $A_1$ 和 $A_2$ 为两个圆环，设 $\rho$ 为在圆环 $A_2$ 中定义的径向度量。我们研究加权组合能在 $A_1$ 和 $A_2$ 之间的极端问题的存在性与唯一性，并得到极端映射为某种径向映射。事实上，这一极端映射推广了 $\rho-$调和映射，并满足由加权组合能变分平均得到的方程 (2.7)。同时，我们得到一个 $\rho-$Nitsche 类型不等式。这扩展了 Kalaj (J. Differential Equations, 268(2020)) 和 YTF (Arch. Math., 122(2024)) 的结果，后者者分别考虑 $\rho=1$ 和 $\rho=\frac{1}{|h|^{2}}$ 的情况。此外，在证明加权组合能的极端问题时，我们还研究了加权组合畸变的极端问题（见第4.1定理）。这扩展了 Kalaj (J. London Math. Soc., 93(2016)) 的结果。