超圆盘上的最小 Riesz 能量问题

我们考虑欧几里得空间$\mathbb R^d$（$d\geq 3$）中单位圆盘$\mathbb D:=\{(x_1,\ldots,x_d)\in\mathbb R^d: x_1=0, x_2^2+x_3^2+\ldots+x_d^2\leq 1\}$上的最小 Riesz $s$-能量问题，该圆盘浸没在光滑旋转不变外场$Q$中。假设电荷通过 Riesz 势$1/r^s$相互作用，其中$d-3 < s < d-1$，$r$表示欧几里得距离。我们通过寻找极值测度的显式表达式来解决该问题。随后，我们考虑了单项式外场以及由位于圆盘极轴上方某距离处的正点电荷产生的外场的应用。我们得到了描述点电荷临界高度的方程，该高度保证极值测度的支撑占据整个圆盘$\mathbb D$。我们还表明，在一般外场满足某些温和限制条件下，极值测度的支撑将具有环状结构。此外，我们展示了如何将此情况下极值测度的恢复问题转化为第二类 Fredholm 积分方程。