Riesz 平衡问题中向奇异支撑的阈值凝聚

我们计算了维度 $d=s+4$ 下与 Riesz $s$-核相互作用且外场由欧氏范数的幂给出的平衡测度。我们的研究揭示该平衡测度可以是连续部分与奇异部分的混合。依赖于幂的值，会出现一种阈值现象，表现为维数约化或向奇异部分的凝聚。特别地，在对数情形 $s=0$（$d=4$）下，当外场的幂变为二次时，会在特定半径的球面上发生凝聚。这与先前研究的 $d=s+3$ 情形形成对比，后者表明平衡测度是满维的且支撑于一个球上。我们的方法除其他工具外，使用了 Frostman 或 Euler-Lagrange 变分刻画、Funk-Hecke 公式、Gegenbauer 正交多项式以及超几何特殊函数。