环面的调和映射、Nitsche猜想及其推广

早在1962年，Nitsche就猜想，平面环面之间存在调和同胚$h \colon A(r,R) \to A(r_*, R_*)$的充分必要条件是$\frac{R_*}{r_*} \ge {1/2} (\frac{R}{r} + \frac{r}{R})$。我们证明了当定义域环面不太宽，即当$\log \frac{R}{r} \le {3/2}$时，该猜想成立。对于一般的$A(r,R)$，在$h$或其法向导数在内边界圆上平均值为零的附加假设下，该猜想得证。临界Nitsche映射即属于这种情况，它在上述不等式中取等号。Nitsche映射表示环面$A(r,R)$的圆的所谓自由演化。另一方面，我们将证明受迫调和演化会导致更大的比值$\frac{R_*}{r_*}$。为此，我们引入了受迫演化圆均值底层的微分算子，并利用它们获得了$\frac{R_*}{r_*}$的精确下界。