基于Fr\'echet-Grassmann代数的超空间上超光滑函数的定义与刻画

通过构造由可数无穷多个Grassmann生成元组成的Fr\'echet-Grassmann (FG-)代数${\fR}$，我们引入了超空间${\fR}^{m|n}$。在定义了欧氏空间${\euc}^m$上光滑函数到${\fR}^{m|0}$的Grassmann延拓之后，我们引入了一类定义在${\fR}^{m|n}$上的函数，称之为超光滑函数。本文在Fr\'echet空间（而非Banach空间）上的Gâteaux（但不一定是Fr\'echet）可微范畴内刻画了此类超光滑函数。关于$G^{\infty}$-函数的这类论证主要是在Banach-Grassmann (BG-)代数上进行的，但我们发现，在处理Dirac、Weyl或Pauli方程等偏微分方程组时，在FG-代数框架下工作更为自然。在该应用中，我们需要证明（超）Hamilton方程的解关于初始条件是超光滑的。尽管我们在先前的工作中已采纳了这一观点，但处理得不够充分。因此，我们在此重新处理该问题并给出肯定回答。我们还给出了${\fR}^{m|n}$上超光滑函数的局部和全局反函数定理。