具有支集控制的 Jacobian 行列式方程的 Dacorogna-Moser 定理

关于预定 Jacobian 偏微分方程 $\text{det}\,\nabla\varphi=f$ 的 Dacorogna-Moser 定理的原始证明可以被修改，以便在保持最优正则性的同时，从初始数据的支集获得解的支集控制。简而言之，在通常条件下，可以找到满足 $$\text{supp}(f-1)\subset\varOmega\Longrightarrow\text{supp}(\varphi-\text{id})\subset\varOmega$$ 的解微分同胚 $\varphi$，并且如果 $f$ 是 $C^{r,\alpha}$ 类，则 $\varphi$ 仍然是 $C^{r+1,\alpha}$ 类，其中 $f$ 的定义域是 $\mathbb{R}^{n}$ 中的一个有界连通开 $C^{r+2,\alpha}$ 集 $\varOmega$。