退化 Beltrami 方程 Dirichlet 问题理论探析

本文中，首先我们给出一个关于退化 Beltrami 方程 $\overline{\partial}f=\mu\,\partial f$ 在 $\mathbb C$ 中具流体力学规范化 $f(z)=z+o(1)$（当 $z\to\infty$ 时）的正则同胚解 $f$ 存在性的一般引理，其复系数 $\mu$ 具有紧支集。在此基础上，我们建立了在 $\mathbb C$ 中任意单连通有界域 $D$ 中退化 Beltrami 方程具连续数据的 Dirichlet 问题的正则离散开解的存在性与表示的判据。此外，我们在 $\mathbb C$ 中任意有界域 $D$（无边界分支退化为单点）中依多值解析函数理论精神获得了多值解 $f$ 存在的类似判据。注意后一要求是必要的，且此类解 $f$ 的实部 $u$ 是所谓的 $A-$调和函数，即椭圆方程 ${\rm div}\,(A\cdot\nabla u)=0$ 的单值连续弱解，其中矩阵值系数 $A$ 与 $\mu$ 相关联。因此，结果可应用于各向异性和非均匀介质中的势论。