一种异构 7 球的曲率

我们研究 Gromoll-Meyer 球（米洛夫的异构 7 球）的几何结构。我们关注一个 Kaluza-Klein 假设，其中以圆形 $S^4$ 为基空间，单位 $S^3$ 为纤维，以及 $k=1,2$ 个 $SU(2)$ instanton 作为规范场，在这种情况下，所有量都在四元数语言中呈现优雅描述。度规的模空间与 $k=1,2$ 个 instanton 的模空间在基空间的等距作用下商化，外加一个额外的 $\mathbb{R}^+$ 因子，对应于基空间的半径 $r$。我们识别出 $k=2$ 个 instanton 模空间的一个“中心”，具有增强对称性。将此 $k=2$ 解与最大对称 $k=1$ 解结合使用，可获得具有最大等距性 $SO(3)\times O(2)$ 的度规，并显式计算其 Ricci 张量。这允许我们对 $r$ 施加限制，以确保正 Ricci 曲率，这又暗示了 8 维静态时空的各种能量条件。此构造随后使我们能够具体检验节 sectional 曲率的性质。