含参泛函类中具有指定能量的临界点:存在性、多重性与分歧结果

我们寻找偶泛函族 $\Phi_\mu=I_1-\mu I_2$ 的具有指定能量的临界点,其中 $I_1,I_2$ 是 Banach 空间 $X$ 上的 $C^1$ 泛函,且 $\mu \in \mathbb{R}$。对若干类 $\Phi_\mu$,我们证明存在无穷多对 $(\mu_{n,c}, u_{n,c})$ 使得 $$\Phi'_{\mu_{n,c}}(\pm u_{n,c}) = 0 \quad \mbox{且} \quad \Phi_{\mu_{n,c}}( \pm u_{n,c}) = c \quad \forall n \in \mathbb{N}.$$ 更一般地,我们分析问题 $$\Phi_\mu'(u)=0, \quad \Phi_{\mu}(u)=c$$ 关于 $\mu$ 和 $c$ 的解集合结构。特别地,我们证明映射 $c \mapsto \mu_{n,c}$ 连续,由此给出该问题的一族{\it 能量曲线}。对这些曲线的分析为我们提供了若干分歧与多重性类型的结果,并随后应用于一些椭圆问题。我们的方法基于文献\cite{I1}中发展的{\it 非线性广义瑞利商}方法。