Crime Pays；长时间尺度的均匀化波动方程

本文研究了波动方程周期均匀化渐近展开在大时间尺度下的精度。如通常所设，$\epsilon$ 表示波动方程中系数的小周期。我们首先证明，对于任意 $\delta>0$，标准双尺度渐近展开在阶为 $\epsilon^{-2+\delta}$ 的时间 $t$ 下提供了精确解的精确近似。其次，对于更长的时间，我们表明一种不同的算法（因其混合了 $\epsilon$ 的不同幂次而被称为 criminal）在时间 $\epsilon^{-N}$ 下给出了精确解的近似，误差为 $O(\epsilon^N)$，其中 $N$ 可以任意大。该 criminal 算法涉及高阶均匀化方程，在波动方程背景下，这些方程最初由 Santos 和 Symes 提出，并由 Lamacz 进行了分析。高阶均匀化方程对中等波数产生了色散修正。我们对所有时间尺度和所有高阶修正项进行了系统分析。