大时间尺度上的 Bloch 波均匀化与色散有效波动方程

我们研究周期介质中的二阶线性波动方程，旨在推导 $\R^n$（$n \in \{1, 2, 3\}$）中的有效方程。标准均匀化理论为小周期长度 $\eps>0$ 的极限提供了一个有效的二阶波动方程，该方程描述了时间区间 $[0,T]$ 上的解。为了在大时间区间 $[0,T\eps^{-2}]$ 上近似解，必须使用一个色散的高阶波动方程。在这项工作中，我们给出了一个适定的弱色散有效方程，并给出了原非均匀问题的解与色散波动方程的解之间的误差估计。我们利用 Bloch 波分析来识别一族相关的极限模型，并引入一种方法，在周期结构的对称性假设下选择一个适定的有效模型。数值试验证实并说明了分析结果。