具有非均匀振荡系数的波动方程齐次化

我们工作的重点是描述具有周期微结构的非均匀（如功能梯度）介质中低频波运动的频散二阶有效模型。对于这类准周期介质变化，我们在多尺度展开框架下研究$\mathbb{R}^d$（$d\geqslant 1$）中标量波动方程的齐次化。当$d=1$或$d=2$时，该模型问题直接关系到弹性固体中（反平面）剪切波的描述。采用微观介质涨落的长度尺度作为扰动参数，我们通过一个（具有光滑变系数）的四阶微分方程综合出相关的低频行为以控制介质中的平均波运动，其中微观异质性的影响通过所谓的单元函数进行上尺度化。为展示我们的分析在求解边值问题（被视为大多数齐次化研究的最终目标）方面的相关性，我们还发展了适用于具有周期微观结构的宏观非均匀固体中一维（1D）剪切波运动的有效边界条件，直至渐近近似的二阶。我们在1D中通过考虑（i）低频波频散、（ii）有限域中传播的剪切波的平均场齐次化描述、以及（iii）其全场齐次化描述进行了数值说明。与（i）中整体波频散似乎可由 Leading-order 模型较好描述不同，（ii）和（iii）的结果证明了高阶修正对近似准周期介质中实际波形可能具有的关键作用。