多尺度麦克斯韦波动方程的均匀化

我们研究在有限时间区间 $(0,T)$ 上、区域 $D\subset{\mathbb R}^d$ 内依赖于 $n$ 个可分离微观尺度的多尺度麦克斯韦波动方程的均匀化。由于 $H_0(\curl,D)$ 到 $L^2(D)^d$ 的嵌入非紧，麦克斯韦波动方程的均匀化可能比 $H^1(D)$ 框架下的标量波动方程显著复杂，且需要针对麦克斯韦波动方程进行独特分析。我们采用多尺度收敛方法。均匀化的麦克斯韦波动方程和初始条件由多尺度均匀化方程导出。当多尺度方程中二阶时间导数的系数依赖于微观尺度时，由于解 $\ue$ 在 $L^2(D)^d$ 范数下的校正项（这些项在 $H^1(D)$ 框架下不出现），其推导比标量波动方程显著复杂。对于双尺度方程，我们针对均匀化方程的解 $u_0$ 属于 $L^\infty((0,T);H^1(\curl,D))$ 的情况，导出了显式的均匀化误差估计。当 $u_0$ 仅属于较弱的正则性空间 $L^\infty((0,T);H^s(\curl,D))$（$0<s<1$）时，我们提出了一种方法，在此情况下推导出依赖于 $s$ 的新均匀化误差。对于一般多尺度问题，我们导出了校正子，但未给出显式的均匀化误差估计。这些校正子和均匀化误差在推导用于数值逼近多尺度问题解的数值校正子中起着至关重要的作用，这将在我们即将发表的论文中予以考虑。