关于算子值微分 Riccati 方程的 Lie 和 Strang 分裂方法的收敛性分析
数值分析
2025-04-28 v1 数值分析
最优化与控制
摘要
微分 Riccati 方程(DRE)是半线性的矩阵或算子值微分方程，具有二次非线性。它们在诸多领域都有应用，特别是在线性二次调节器的最优控制中，提供最优反馈控制律。在部分微分方程控制的背景下，这些 Riccati 方程是算子值形式。为近似求解它们，需要进行空间和时间离散化。虽然前者在文献中已被良好分析，但对于无限维、算子值情形下应用于 DRE 的时间步进方法的严格收敛性分析极少。在此背景下，我们在此情形下分析两种数值时间步进方案，即 Lie 和 Strang 分裂方法。该分析依赖于假设：受控系统通过生成解析半群的算子演化，且初始条件足够光滑，或 DRE 中的非线性项足够光滑。这类假设较为温和，即便不足以保证在算子范数下确切解的连续性。然而，它们可导致点意义上的某种规律性，这可以被用来在算子范数下以经典阶数证明收敛。通过四个数值实验说明了这些结果，其中收敛以预期阶数呈现，与相关假设被满足相关。实验还表明，除非离散化较粗糠，矩阵值 DRE 作为算子值 DRE 的空间离散化行为类似。
引用
@article{arxiv.2504.18358,
title = {Convergence analysis of Lie and Strang splitting for operator-valued differential Riccati equations},
author = {Eskil Hansen and Tony Stillfjord and Teodor Åberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.18358},
year = {2025}
}