从环面上的长程可除沙堆构造分数高斯场

在\cite{Cipriani2016}中，作者证明了在单位环面上（最近邻）可除沙堆的 odometer 经适当重标度后收敛于双拉普拉斯场。此处，我们研究$\alpha$-长程可除沙堆，类似于\cite{Frometa2018}中引入的那些。我们证明，对于$\alpha \in (0,2)$，极限场是环面上参数为$\alpha/2$的分数高斯场。然而，对于$\alpha \in [2,\infty)$，我们恢复出双拉普拉斯场。这提供了一种利用基于L\'evy游动生成元的扩散来构造分数高斯场（如高斯自由场或膜模型）的替代方法。获得结果的核心工具是对离散环面上分数拉普拉斯谱的细致研究。更具体地，我们需要当离散环面边长趋于无穷时特征值的发散速率。作为一个附带结果，我们获得了离散分数拉普拉斯特征值精确的渐近式。此外，我们确定了参数为$\gamma=\min \{\alpha,2\}$且$\alpha \in \mathbb{R}_+\backslash\{2\}$的离散分数高斯场在有限网格上期望最大值的阶。