环面上 $\mathcal{P}(\phi)_2$ 模型的多尺度耦合与极大值

我们在二维单位环面上的所有空间尺度上建立了 $\mathcal{P}(\phi)_2$ 测度与高斯自由场之间的耦合，其由对差场的概率正则性估计所量化。我们的结果包含了被广泛研究的 $\phi^4_2$ 测度。证明使用了用于定义该耦合的 Polchinski 重整化群方法与 $\mathcal{P}(\phi)_2$ 的 Boué-Dupuis 随机控制表示之间的精确对应。更确切地说，我们证明了差场由变分问题的某个特定极小元得到。这使得利用离散调和分析工具获得的极小元小尺度正则性估计能够转移到差场上。作为耦合的一个应用，我们证明了网格尺寸 $\epsilon > 0$ 的离散化环面上 $\mathcal{P}(\phi)_2$ 场的极大值，当 $\epsilon \rightarrow 0$ 时依分布收敛到随机平移的 Gumbel 分布。