抛物型偏微分方程的压缩时空 Galerkin 离散化

我们在基于分数阶微积分的时空变分框架下研究线性抛物型初值问题。该公式在双向无限时间轴上使用“半阶时间导数”。我们表明，对于 $(0,\infty)$ 上的线性抛物型初边值问题，相应的双线性形式在稀疏张量积试探函数空间和测试函数空间上满足 inf-sup 条件。由此推导出压缩时空 Galerkin 离散化的最优性，其中 Galerkin 逼近的稳定性由抛物型算子方程的适定性所保证。此处采用的变分设置比先前工作允许更一般的 Riesz 基；特别是，本公式所容纳的 Riesz 基不需要在空间或时间域上的负阶 Sobolev 空间中具有稳定性。试探空间和测试空间基于关于时间变量的同阶 $1/2$ Sobolev 空间。Galerkin 离散化中空间和时间空间的多层分解的稀疏张量积导致了大型非对称线性方程组。我们证明了其条件数相对于离散化水平是一致有界的。就自由度总数而言，收敛阶在对数项范围内等于相应椭圆问题解的最佳 $N$ 项逼近的收敛阶。