构成 $\alpha$-高斯与 logistic 图：渐进与突变的混沌过渡

我们引入了 $\alpha$-高斯-Logistic 图，这是一种由 logistic 和 $\alpha$-高斯图构成的新型非线性动力学系统。明确地，我们的模型为 $x_{t+1} = f_L(x_t)x_t^{-\alpha} - \lfloor f_L(x_t)x_t^{-\alpha} \rfloor$，其中 $f_L(x_t) = r x_t (1-x_t)$ 为 logistic 图，$\lfloor \ldots \rfloor$ 为整数部分函数。我们的研究揭示了仅由两个参数 $r$ 和 $\alpha$ 决定的丰富现象。当 $\alpha < 1$ 时，系统在参数 $r$ 增加时表现出多个周期倍增到混沌的现象，在混沌吸引子中交错出现稳定窗口。在相反的情况下，当 $1 \leq \alpha < 2$ 时，混沌的出现是突然的，在任何先前的分岔之前都会发生， resulting chaotic attractors emerge without stability windows。当 $\alpha \geq 2$ 时，缺乏规律行为。特殊情况下 $\alpha = 1$ 允许解析处理，推导出 Lyapunov 指数闭式公式以及 exact uniform invariant density 的条件，使用 Perron-Frobenius 方程。$\alpha = 1$ 的混沌 regime 可表现为有间隙或无间隙。令人惊讶的是，黄金比例 $\Phi$ 标志着该 regime 图中最大间隙消失的阈值。此外，在突变过渡 regime 的混沌边缘处，invariant density 接近 $q$-高斯分布，其中 $q=2$，对应于 Cauchy 分布。