高斯映射的推广：跃入具有普适特征的混沌

高斯映射（或连分数映射）是一个重要的耗散型一维离散时间动力系统，它表现出混沌行为，并生成由无限多个不同符号组成的符号动力学。这里我们引入高斯映射的一种推广形式，由 $x_{t+1}=\frac{1}{x_t^\alpha} - \Bigl[\frac{1}{x_t^\alpha} \Bigr]$ 给出，其中 $\alpha \geq 0$ 是参数且 $x_t \in [0,1]$ ($t=0,1,2,3,\ldots$)。符号 $[\dots ]$ 表示整数部分。当 $\alpha=1$ 时，该映射退化为普通高斯映射。该系统在临界参数值 $\alpha=\alpha_c \equiv 0.241485141808811\dots$ 处表现出突然的“跃入混沌”，我们在本文中对此进行了详细分析。我们针对这一新映射建立了若干作为参数 $\alpha$ 函数的解析与数值结果。特别地，我们证明了在临界点处，不变密度趋近于 $q=2$ 的 $q$-高斯分布（即柯西分布），并且随着 $\alpha \to \alpha_c^+$ 该分布变得无限窄。此外，在参数 $\alpha$ 取较大值的混沌区域，我们通过求解相应的 Perron-Frobenius 方程，解析地推导出了不变密度的近似公式。当 $\alpha \to \infty$ 时，系统趋近于均匀密度。我们提供了论证表明，这一相变场景的某些特征具有普适性，并且与其他更一般的系统也相关。