矩阵 logistic 映射：分形谱分布与混沌传递

标准 logistic 映射 $x'=ax(1-x)$ 是展示看似简单的非线性方程如何导致复杂与混沌动态的典型模型。本文中我们引入并研究其矩阵类比，该类比针对给定阶数 $N$ 的任意矩阵 $X$ 定义。我们证明，对于支撑在区间 $[0,1]$ 上且具有连续能级密度的任意初始厄米随机矩阵系综，其渐近能级密度收敛于 logistic 映射的不变测度。根据参数 $a$，所构造的测度可以是奇异的、分形的或由连续密度描述。在更广义的映射类中，乘以标量 logistic 参数 $a$ 被替换为将 $aX(\mathbb{I}-X)$ 变换为 $BX(\mathbb{I}-X)B^{\dagger}$，其中 $A=BB^{\dagger}$ 是阶数 $N$ 的固定正矩阵。该方法推广了已知的耦合 logistic 映射模型，并使我们能够研究复杂网络与多维系统中的混沌转变。特别地，将矩阵 $B$ 与给定图相关联，我们展示了对应于图顶点并根据其边耦合的子系统之间混沌的逐步传递。