网络上Kuramoto模型的完全退化平衡点
动力系统
2023-02-20 v3
摘要
Kuramoto网络包含非双曲平衡点，其稳定性有时难以确定。我们考虑所有Jacobian（雅可比）特征值均为零的极端情形。此时在平衡点处对系统线性化得到一个每一项都为零的Jacobian矩阵。我们称这些平衡点为完全退化。我们证明：对于某些固有频率，它们存在当且仅当底层图是二部图，且对一般固有频率它们不存在。在零固有频率情形下，我们证明它们存在当且仅当图具有Euler回路（欧拉回路），使得在同一顶点任意两次访问之间的步数为4的倍数。最简单的例子是含4个顶点的环图。我们证明具有此性质的图对大于5的任意顶点数N均存在，且当N很大时它们渐近稀有。关于稳定性，我们证明对任意固有频率选择、任意耦合强度以及任意至少含一条边的图，完全退化平衡点都不是Lyapunov稳定的（李雅普诺夫稳定）。作为推论，我们得到Kuramoto网络中的稳定平衡点必须至少有一个严格负特征值。
引用
@article{arxiv.2112.12034,
title = {Completely Degenerate Equilibria of the Kuramoto Model on Networks},
author = {Davide Sclosa},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.12034},
year = {2023}
}
备注
8 pages, 2 figures. Updated abstract, introduction and references. Improved proofs and added several remarks