有限 Kuramoto 模型中全相位锁定态的凸几何框架

我们研究了具有异构自然频率的全耦合相位振荡器的有限尺寸 Kuramoto 模型，并表征了存在全相位锁定平衡（在共转坐标系中）所需的最小耦合强度。为了消除由均匀相移引起的简并，我们转换到简化的共转坐标系，并通过简化系统的雅可比矩阵评估稳定性：当该雅可比矩阵负定时，全相位锁定态是稳定的。这在相空间中定义了一个稳定区域。Kuramoto 向量场将此区域映射到频率空间中的一个凸集，因此当重新缩放的频率向量 $\hat{\mathbf{\omega}}/K$ 位于该凸像内部时，耦合 $K$ 下的全锁定态恰好存在。临界耦合 $K_{\ell}$ 定义为存在全相位锁定平衡的最小耦合强度；在几何上，它对应于射线 $t\hat{\mathbf{\omega}}$ 与该凸集边界的首次交点。基于这种凸几何结构，我们利用稳定区域的解析可计算边界点构建了一个显式多面体，提供了闭式上界 $K_b \ge K_{\ell}$。该界限对于与多面体顶点对齐的频率是精确的，并为一般频率向量提供了完全显式的外部近似。尽管在定量意义上并非一致尖锐，但该构造揭示了稳定全相位锁定解的底层几何。这些结果为 Kuramoto 模型中稳定全锁定态底层的凸几何结构提供了实际应用。