来自P^2 # 9 \bar P^2的完备Calabi-Yau度量

设$X$表示复射影平面，在三次曲线束的九个基点处爆破，并设$D$为$X$上所得椭圆纤维化的任意纤维。利用受Gross-Wilson工作启发的ansatz度量和Tian-Yau的PDE方法，我们证明$X \setminus D$在大多数de Rham上同调类中允许完备的Ricci平坦Kähler度量。如果$D$光滑，这些度量以指数速率收敛到分裂平坦圆柱$\R^+ \times S^1 \times D$。在这种情况下，我们还获得了部分唯一性结果和爱因斯坦模空间的局部描述，该模空间包含横截面不分裂出圆的圆柱度量。如果$D$奇异但具有有限单值，它们至少以二次速率收敛到平坦二维锥上的平坦$T^2$-浸没，这些锥不必是$\R^2$的商。如果$D$具有无限单值奇异，对于Kodaira类型${\rm I}_b$和${{\rm I}_b}^*$，其体积增长率分别为4/3和2，其内射半径衰减如$r^{-1/3}$和$(\log r)^{-1/2}$，其曲率张量衰减如$r^{-2}$和$r^{-2}(\log r)^{-1}$。特别地，${\rm I}_b$例子表明，Cheeger-Tian \cite{ct-einstein}的曲率估计通常无法改进。