del Pezzo曲面与有理椭圆曲面的SYZ镜对称猜想

我们证明了Strominger-Yau-Zaslow镜对称猜想的一个版本,适用于由以下两方面得到的非紧Calabi-Yau曲面:一方面为del Pezzo曲面$\check{Y}$与其光滑反典则除子$\check{D}$组成的对$(\check{Y},\check{D})$;另一方面为有理椭圆曲面$Y$与Kodaira类型$I_k$奇纤维$D$组成的对$(Y,D)$。针对后一类对$(Y,D)$建立了三个主要结果。首先,借鉴Hein的工作,我们证明在$Y\setminus D$上存在完备Calabi-Yau度量,在每类Kähler类中渐近于(一般为非标准的)半平坦度量。其次,我们证明一个唯一性定理:模自同构,在$Y\setminus D$上每一Kähler类容许唯一的渐近半平坦Calabi-Yau度量。该结果给出了$Y\setminus D$上Calabi-Yau度量的有限维Kähler模空间。此外,此结果在该情形下回答了Tian-Yau与Yau的问题。第三,基于作者先前工作,我们证明装备渐近半平坦Calabi-Yau度量$\omega_{CY}$的$Y\setminus D$在$\omega_{CY}$的de Rham上同调类无拓扑阻碍时容许特殊拉格朗日纤维化。综合这些结果,我们定义了从del Pezzo对$(\check{Y}, \check{D})$的模空间到$(Y,D)$的复化Kähler模的镜像映射,并证明$(Y,D)$上的特殊拉格朗日纤维化与作者先前构造的$(\check{Y}, \check{D})$上的特殊拉格朗日纤维化$T$-对偶。我们给出这些结果的若干应用,包括研究固定反典则除子的del Pezzo曲面的自同构。