K3 曲面的大复结构极限

受 Strominger、Yau 和 Zaslow 所提出的镜像对称图像的启发，我们提出了一个关于 Calabi-Yau n-维流形（带 Ricci-平坦 Kähler 度量）在模空间中逼近大复结构极限点时的 Gromov-Hausdorff 极限的猜想；Kontsevich、Soibelman 和 Todorov 独立地提出了类似猜想。粗略地说，该猜想指出，若度量被标准化为具有常直径，则此极限是与大复结构极限相关的猜想特殊拉格朗日环面纤维化之底空间，即一个 n-球面，并且此 S^n 上的度量由底空间上的标准（奇异）黎曼度量诱导，度量的奇点对应于纤维化的判别轨迹。该猜想对椭圆曲线显然成立；在本文中我们证明其在 K3 曲面情形成立。利用 K3 曲面的标准镜像对称描述与超 Kähler 旋转技巧，我们将问题归约为研究椭圆 K3 曲面的 Kähler 退化，其中 Kähler 类逼近对应于该纤维化的 Kähler 锥的壁且体积被标准化为 1。在此我们能够写出 Ricci-平坦度量的一个极其精确的近似——若椭圆纤维的面积为 $\epsilon >0$，则误差为 $O(e^{-C/\epsilon})$，其中某个常数 $C>0$。该度量是通过将纤维化光滑部分上的半平坦度量与奇异纤维附近的适当 Ooguri-Vafa 度量粘合而得到的。对于小的 $\epsilon$，这是一个足够好的近似，从而使得上述猜想成为一个直接的推论。